Test: Grupuri de matrice. Aplicații M2

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Dacă $G=\left\\left.\left(\beginmatrixa&2b\\b&a\endmatrix\right)\right|a,b\in\mathbbR,a^2-2b^2=1\right\$ , atunci $I2\in G$ .

Fie $G=\left\\left.\left(\beginmatrixa&2b\\b&a\endmatrix\right)\right|a,b\in\mathbbR,a^2-2b^2=1\right\$ .

Precizează afirmația adevărată.

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR^*$ notăm $Aa=\left(\beginmatrix a&0&a\\ 0&0&0\\ a&0&a\\ \endmatrix\right)$ .

Fie $G=\left\\left.Aa\:\right|\:a\in\mathbbR^*\right\$ .
Operația de înmulțire este bine definită pe mulțimea de matrice $G$ și este valabilă afirmația: $\forall a,b\in\mathbbR^*\;\;Aa\cdot Ab=Aab$ .

Fie $G=\left\\left.\left(\beginmatrix a&0&a\\ 0&0&0\\ a&0&a\\ \endmatrix\right)\:\right|\:a\in\mathbbR^*\right\$ .

Precizează afirmația adevărată.

Dacă $G=\left\\left.\left(\beginmatrix a&0&a\\ 0&0&0\\ a&0&a\\ \endmatrix\right)\:\right|\:a\in\mathbbR^*\right\$ , atunci $I3\in G$ .

Fie $G=\left\\left.\left(\beginmatrixa&2b\\b&a\endmatrix\right)\right|a,b\in\mathbbR,a^2-2b^2=1\right\$ .

Determină toate numerele $x\in\mathbbR$ pentru care matricea $\left(\beginmatrix 3&2x\\ x&3 \endmatrix\right)\in G$ .
Notăm cu $s=$ suma acestor numere și cu $p=$ produsul acestora. Determină numerele $s$ și $p$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Dacă $G=\left\\left.\left(\beginmatrixa&2b\\b&a\endmatrix\right)\right|a,b\in\mathbbR,a^2-2b^2=1\right\$ , atunci $O2\in G$ .

Fie $G=\left\\left.\left(\beginmatrixa&2b\\b&a\endmatrix\right)\right|a,b\in\mathbbR,a^2-2b^2=1\right\$ .

Simetrica matricei $A=\left(\beginmatrix5&-4\sqrt3\\-2\sqrt3&5\endmatrix\right)$ în grupul $\left(G,\cdot\right)$ este matricea:

Dacă $G=\left\\left.\left(\beginmatrixa&2b\\b&a\endmatrix\right)\right|a,b\in\mathbbR,a^2-2b^2=1\right\$ , atunci structura algebrică $(G,\cdot)$ este grup, dar NU este grup abelian.

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR^*$ notăm $Aa=\left(\beginmatrix a&0&a\\ 0&0&0\\ a&0&a\\ \endmatrix\right)$ .

Fie $G=\left\\left.Aa\:\right|\:a\in\mathbbR^*\right\$ .
Determină numărul întreg $x$ pentru care are loc egalitatea $A1\cdot A2\cdot A3\cdot A4=Ax$ în grupul $(G,\cdot)$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR$ notăm $Aa=\left(\beginmatrix 1&0&0\\ 0&0&0\\ a&0&1\\ \endmatrix\right)$ .

Fie $G=\left\\left.Aa\:\right|\:a\in\mathbbR\right\$ . Considerăm grupul $\left(G,\cdot\right)$ .
Precizează afirmațiile adevărate.

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR$ notăm $Aa=\left(\beginmatrix 1&0&0\\ 0&0&0\\ a&0&1\\ \endmatrix\right)$ .

Fie $G=\left\\left.Aa\:\right|\:a\in\mathbbR\right\$ . Considerăm grupul $\left(G,\cdot\right)$ .
Asociază la fiecare dintre matricele $M\in G$ de mai jos matricea simetrică $M'$ din grupul $\left(G,\cdot\right)$ .

Pentru fiecare număr $a\in\mathbbR^*$ notăm $Aa=\left(\beginmatrix a&0&a\\ 0&0&0\\ a&0&a\\ \endmatrix\right)$ .

Fie $G=\left\\left.Aa\:\right|\:a\in\mathbbR^*\right\$ .
Determină simetrica matricei $A-\frac14$ în grupul $\left(G,\cdot\right)$ .
Fie $s=$ suma elementelor matricei pe care ai determinat-o.
Determină numărul întreg $s$ . Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Fie matricea $A=\left(\beginmatrix 0& i\\ i& 0\endmatrix\right)$ . Fie $G=\left\A^n\,\vert\,n\in\mathbbN^*\right\$ .

Surprinzător, mulțimea de matrice $G$ este finită. Mai mult, structura algebrică $\left(G,\cdot\right)$ este grup abelian.
Fie $n=$ numărul de matrice din grupul $\left(G,\cdot\right)$ . Determină numărul $n$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Fie matricea $A=\left(\beginmatrix 0& i\\ i& 0\endmatrix\right)$ . Fie $G=\left\A^n\,\vert\,n\in\mathbbN^*\right\$ .

Determină simetrica matricei $A^2$ în grupul $\left(G,\cdot\right)$ .
Fie $s=$ suma elementelor matricei pe care ai determinat-o.
Determină numărul întreg $s$ . Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Descrierea testului

Cu acest test de matematică pentru clasa a XII-a vei aprofunda cunoștințele despre grupuri de matrice pe care le-ai întâlnit în lecția anterioară. Vei întâlni grupuri de matrice noi și vei exersa diferite moduri de studiu al proprietăților acestor grupuri. Va trebui să decizi dacă o matrice este sau nu simetrizabilă față de operația din grupul respectiv și în caz afirmativ să-i calculezi simetrica. Sper ca întrebările să-ți placă! Rezolvă cât mai bine acest test online și vei fi excelent pregătit pentru examenul de Bacalaureat!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (15)