Test: Morfism și izomorfism de grupuri M2

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Fie grupurile $\left(G1,\bot\right)$ și $\left(G2,\top\right)$ . Un morfism de la grupul $\left(G1,\bot\right)$ la grupul $\left(G2,\top\right)$ este o funcție $f:G1--> G2$ care îndeplinește condiția: $\forall \,x,y\in G1\;\;f(x\top y)=f(x)\bot f(y)$ .

Morfismul $f:\mathbbZ-->\mathbbR^*$ de la grupul $\left(\mathbbZ,+\right)$ la grupul $\left(\mathbbR^*,\cdot\right)$ îndeplinește condiția:

Un izomorfism de la grupul $\left(G1,\bot\right)$ la grupul $\left(G2,\top\right)$ este o funcție bijectivă $f:G1--> G2$ care este morfism de la grupul $\left(G1,\bot\right)$ la grupul $\left(G2,\top\right)$ .

Pentru orice grupuri $\left(G,\bigstar\right)$ și $\left(H,\circledcirc\right)$ și pentru orice funcție $f:G--> H$ sunt adevărate afirmațiile:

Fie grupul $\left(\mathbbZ,*\right)$ , unde $x*y=x+y+1$ . Un izomorfism $f:\mathbbZ-->\mathbbZ$ de la grupul $\left(\mathbbZ,*\right)$ la grupul $\left(\mathbbZ,+\right)$ este un automorfism de grupuri.

Fie grupul $\left(G1,\bot\right)$ cu elementul neutru $e1$ . Fie grupul $\left(G2,\top\right)$ cu elementul neutru $e2$ .

Dacă $f:G1--> G2$ este morfism de la grupul $\left(G1,\bot\right)$ la grupul $\left(G2,\top\right)$ , atunci:

Grupurile $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ și $\left(\mathbbR,+\right)$ sunt izomorfe deoarece putem construi izomorfismul $f:\mathbbR+^*-->\mathbbR\;\;\;f(x)=\ln x$ .

Fie grupul $\left(\mathbbC,+\right)$ și funcția $f:\mathbbC-->\mathbbC\;\;\;f(z)=0$ .

Precizează afirmația adevărată.

Fie grupul $\left(\mathbbZ,*\right)$ , unde $x*y=x+y+17$ .

Fie grupul $\left(\mathbbZ,\circ\right)$ , unde $x\circ y=x+y+3$ .
Pentru fiecare număr $k\in\mathbbZ$ considerăm funcția $fk:\mathbbZ-->\mathbbZ\;\;\;fk(x)=x+k$ .
Determină numărul întreg $k$ pentru care $fk$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbZ,*\right)$ la grupul $\left(\mathbbZ,\circ\right)$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Considerăm grupul abelian $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ . Funcția $f:\mathbbR+^*-->\mathbbR+^*\;\;\;f(x)=x^2$ este bijectivă și este morfism de la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ la el însuși, deci este izomorfism.

Fie grupul $\left(\mathbbR,*\right)$ , unde $x*y=x+y-8$ .

Pentru fiecare dintre funcțiile de mai jos decide dacă este sau nu este morfism de la grupul $\left(\mathbbR,+\right)$ la grupul $\left(\mathbbR,*\right)$ , respectiv dacă este sau nu este bijecție.
Asociază fiecărei funcții proprietățile corespunzătoare.

Fie grupurile $\left(\mathbbZ2,+\right)$ și $\left(\mathbbZ3,+\right)$ .

Precizează afirmațiile adevărate.

Fie grupul $\left(\mathbbZ,+\right)$ . Fie mulțimea $A=\left\-10,-9,...,-1,0,1,...,9,10\right\$ . Pentru fiecare număr $a\in A$ considerăm funcția $fa:\mathbbZ-->\mathbbZ\quad fa(x)=ax$ . Fie $\mathcalF$ mulțimea acestor funcții.

Notăm $nmorf=$ numărul de morfisme de la grupul $\left(\mathbbZ,+\right)$ la el însuși, din mulțimea de funcții $\mathcalF$ .
Notăm $nauto=$ numărul de automorfisme ale grupului $\left(\mathbbZ,+\right)$ , din mulțimea de funcții $\mathcalF$ .
Determină numerele naturale $nmorf$ , și $nauto$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

Fie grupul $\left(\mathbbZ2,+\right)$ .

Notăm $nfunc=$ numărul de funcții definite pe $\mathbbZ2$ cu valori în $\mathbbZ2$ .
Notăm $nbiject=$ numărul de funcții bijective definite pe $\mathbbZ2$ cu valori în $\mathbbZ2$ .
Notăm $nmorf=$ numărul de morfisme de la grupul $\left(\mathbbZ2,+\right)$ la el însuși.
Notăm $nauto=$ numărul de automorfisme ale grupului $\left(\mathbbZ2,+\right)$ .
Determină numerele naturale $nfunc$ , $nbiject$ , $nmorf$ , și $nauto$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

Considerăm grupul abelian $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ . Fie mulțimea $A=\left\-10,-9,...,-1,0,1,...,9,10\right\$ . Pentru fiecare număr $k\in A$ considerăm funcția $fk:\mathbbR+^*-->\mathbbR+^*\quad fk(x)=x^k$ . Fie $\mathcalF$ mulțimea acestor funcții.

Notăm $nmorf=$ numărul de morfisme de la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ la el însuși, din mulțimea de funcții $\mathcalF$ .
Notăm $nauto=$ numărul de automorfisme ale grupului $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ , din mulțimea de funcții $\mathcalF$ .
Determină numerele naturale $nmorf$ , și $nauto$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

Descrierea testului

Parcurgând acest test de matematică pentru clasa a XII-a vei verifica dacă ți-ai însușit bine noțiunile: morfism, izomorfism și automorfism de grupuri. Îți vei testa abilitățile de a decide dacă o funcție este sau nu este morfism de grupuri. Vei recapitula noțiunea de funcție bijectivă și va trebui să decizi dacă un morfism de grupuri este sau nu este izomorfism. Vei lucra cu grupuri numerice sau cu grupuri de clase de resturi modulo n, conform cu exemplele întâlnite în lecțiile anterioare. Sper ca întrebările să-ți placă! Rezolvă cât mai bine acest test online și vei fi excelent pregătit pentru examenul de Bacalaureat!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)