Test: Morfism și izomorfism de grupuri. Aplicație M2

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Fie grupurile $\left(G,\cdot\right)$ și $\left(H,+\right)$ . Funcția $f:G--> H$ este morfism de la grupul $\left(G,\cdot\right)$ la grupul $\left(H,+\right)$ dacă și numai dacă $\forall\,x,y\in G\;\;f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$ .

Funcția $f:\mathbbR+^*-->\mathbbC$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ la grupul $\left(\mathbbC,+\right)$ dacă și numai dacă îndeplinește condiția:

Oricare ar fi grupurile $\left(G,\cdot\right)$ și $\left(H,+\right)$ , funcția $f:G--> H$ este izomorfism de la grupul $\left(G,\cdot\right)$ la grupul $\left(H,+\right)$ dacă și numai dacă este injectivă și este morfism de la grupul $\left(G,\cdot\right)$ la grupul $\left(H,+\right)$ .

Dacă funcția $f:\mathbbR-->\mathbbR+^*$ este izomorfism de la grupul $\left(\mathbbR,+\right)$ la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ , atunci este adevărată afirmația:

Fie $n\in\mathbbN$ . Dacă funcția $fn:\mathbbQ-->\mathbbR\;\;\;fn(x)=nx+n$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbQ,+\right)$ la grupul $\left(\mathbbR,+\right)$ , atunci $\forall\,x,y\in\mathbbQ\;\;n(x+y)+n=(nx+n)+(ny+n)$ .

Fie $M=(-\infty,0)$ . Definim legea de compoziție $x\circ y=-xy$ pe mulțimea $M.$ Structura algebrică $(M,\circ)$ este grup abelian.

Pentru fiecare număr $a>0$ definim funcția $fa:\mathbbR+^*--> M\quad fa(x)=-\sqrtax$ .
Funcția $fa$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ la grupul $(M,\circ)$ dacă și numai dacă:

Fie $M=(-\infty,0)$ . Definim legea de compoziție $x\circ y=-xy$ pe mulțimea $M.$ Structura algebrică $(M,\circ)$ este grup abelian.

Pentru fiecare număr $a>0$ definim funcția $fa:\mathbbR+^*--> M\quad fa(x)=-\sqrtax$ .
Determină numărul $a>0$ pentru care funcția $fa$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ la grupul $(M,\circ)$ .
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Pentru fiecare număr $a>0$ definim funcția $fa:\mathbbR+^*--> M\quad fa(x)=-\sqrtax$ .

Precizează afirmația adevărată.

Fie $M=(-\infty,0)$ . Definim legea de compoziție $x\circ y=-xy$ pe mulțimea $M.$ Structura algebrică $(M,\circ)$ este grup abelian.

Pentru fiecare număr $a>0$ definim funcția $fa:\mathbbR+^*--> M\quad fa(x)=-\sqrtax$ .
Funcția $fa$ este izomorfism de la grupul $\left(\mathbbR+^*,\cdot\right)$ la grupul $(M,\circ)$ dacă și numai dacă $a=1$ .

Fie mulțimea $A=\left\0,1,2,3,4\right\$ . Pentru fiecare pereche ordonată $(a,b)\in A\times A$ considerăm funcția $fa,b:\mathbbZ5-->\mathbbZ5\;\;fa,b(x)=a\cdot x+\widehatb$ .

În grupul $\left(\mathbbZ5,+\right)$ au loc următoarele reguli de calcul: $0\cdot x=\widehat0,\;1\cdot x=x,\;2\cdot x=x+x,...$
Funcția $fa,b$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbZ5,+\right)$ la el însuși dacă și numai dacă:

Fie mulțimea $A=\left\0,1,2,3,4\right\$ . Pentru fiecare pereche ordonată $(a,b)\in A\times A$ considerăm funcția $fa,b:\mathbbZ5-->\mathbbZ5\;\;fa,b(x)=a\cdot x+\widehatb$ .

În grupul $\left(\mathbbZ5,+\right)$ au loc următoarele reguli de calcul: $0\cdot x=\widehat0,\;1\cdot x=x,\;2\cdot x=x+x,...$
Determină $nmorf=$ numărul de perechi ordonate $(a,b)\in A\times A$ pentru care funcția $fa,b$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbZ5,+\right)$ la el însuși.
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Fie mulțimea $A=\left\0,1,2,3,4\right\$ . Pentru fiecare pereche ordonată $(a,b)\in A\times A$ considerăm funcția $fa,b:\mathbbZ5-->\mathbbZ5\;\;fa,b(x)=a\cdot x+\widehatb$ .

În grupul $\left(\mathbbZ5,+\right)$ au loc următoarele reguli de calcul: $0\cdot x=\widehat0,\;1\cdot x=x,\;2\cdot x=x+x,...$
Dintre toate morfismele $fa,b$ de la grupul $\left(\mathbbZ5,+\right)$ la el însuși, unul singur NU este automorfism.

Fie $G=(-\infty,0)$ . Definim legea de compoziție $x\circ y=-5xy$ pe mulțimea $G.$ Structura algebrică $(G,\circ)$ este grup abelian.

Definim legea de compoziție $x*y=25xy$ pe mulțimea $\mathbbR+^*.$ Structura algebrică $(\mathbbR+^*,*)$ este grup abelian.
Pentru fiecare pereche ordonată convenabilă $(a,b)\in\mathbbR\times\mathbbR$ considerăm funcția $fa,b:\mathbbR+^*--> G\quad fa,b(x)=ax+b$ .
Fii atent că nu pentru toate perechile ordonate $(a,b)\in\mathbbR\times\mathbbR$ funcția $fa,b$ este bine definită.
Determină perechea ordonată $(a,b)\in\mathbbR\times\mathbbR$ pentru care funcția $fa,b$ este izomorfism de la grupul $\left(\mathbbR+^*,*\right)$ la grupul $(G,\circ)$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Fie mulțimea $A=\left\0,1,2,3\right\$ . Pentru fiecare pereche ordonată $(a,b)\in A\times A$ considerăm funcția $fa,b:\mathbbZ4-->\mathbbZ4\;\;fa,b(x)=a\cdot x+\widehatb$ .

În grupul $\left(\mathbbZ4,+\right)$ au loc următoarele reguli de calcul: $0\cdot x=\widehat0,\;1\cdot x=x,\;2\cdot x=x+x,...$
Determină $nmorf=$ numărul de perechi ordonate $(a,b)\in A\times A$ pentru care funcția $fa,b$ este morfism de la grupul $\left(\mathbbZ4,+\right)$ la el însuși.
Determină $nauto=$ numărul de perechi ordonate $(a,b)\in A\times A$ pentru care funcția $fa,b$ este automorfism al grupului $\left(\mathbbZ4,+\right)$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre.

Fie $G=(-\infty,1)$ . Definim legea de compoziție $x\circ y=-(x-1)(y-1)+1$ pe mulțimea $G.$ Structura algebrică $(G,\circ)$ este grup abelian.

Fie $H=(2,\infty)$ . Definim legea de compoziție $x*y=\frac15(x-2)(x-2)+2$ pe mulțimea $H.$ Structura algebrică $(H,*)$ este grup abelian.
Pentru fiecare pereche ordonată convenabilă $(a,b)\in\mathbbR\times\mathbbR$ considerăm funcția $fa,b:G--> H\quad fa,b(x)=ax+b$ .
Fii atent că nu pentru toate perechile ordonate $(a,b)\in\mathbbR\times\mathbbR$ funcția $fa,b$ este bine definită.
Determină perechea ordonată $(a,b)\in\mathbbR\times\mathbbR$ pentru care funcția $fa,b$ este izomorfism de la grupul $(G,\circ)$ la grupul $(H,*)$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Descrierea testului

Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a XII-a și vei verifica dacă reușești să rezolvi aplicații interesante care folosesc noțiunile: morfism, izomorfism și automorfism de grupuri. Va trebui să determini parametrii pentru care o funcție este sau nu este morfism, respectiv izomorfism de grupuri. Vei întâlni grupuri numerice sau grupuri de clase de resturi modulo n, ca și în exemplul din lecția video sau din lecțiile anterioare. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi foarte bine pregătit la matematică!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)