Test: Inele numerice M2

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Dacă $(A,+,\cdot)$ este inel nenul, atunci mulțimea $A$ are cel puțin două elemente, $(A,+)$ este monoid comutativ și $(A,\cdot)$ este grup. În plus, înmulțirea este distributivă față de adunare.

Presupunem că $(A,+,\cdot)$ este inel comutativ nenul.

Precizează afirmațiile adevărate.

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[i\right]=\left\a+bi\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbC$ .

Dacă structura algebrică $(\mathbbZ\left[i\right],+,\cdot)$ este inel, atunci $\exists\,z1,z2\in\mathbbZ\left[i\right]$ astfel încât $z1\cdot z2\notin\mathbbZ\left[i\right]$ .

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[\sqrt3\right]=\left\a+b\sqrt3\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbR$ .

Structura algebrică $\left(\mathbbZ\left[\sqrt3\right],+,\cdot\right)$ este inel comutativ nenul.
Precizează afirmațiile adevărate.

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[i\right]=\left\a+bi\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbC$ .

Numerele $0\in\mathbbC$ și $1\in\mathbbC$ sunt elemente ale mulțimii $\mathbbZ\left[i\right]$ .

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[i\right]=\left\a+bi\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbC$ .

Structura algebrică $(\mathbbZ\left[i\right],+,\cdot)$ este inel.
Asociază la fiecare element $x\in\mathbbZ\left[i\right]$ precizat mai jos, elementul opus $-x$ corespunzător.

Fie mulțimea $\mathbbQ\left(\sqrt5\right)=\left\a+b\sqrt5\,\vert\,a,b\in\mathbbQ\right\\subset\mathbbR$ .

În inelul $\left(\mathbbQ\left(\sqrt5\right),+,\cdot\right)$ mulțimea elementelor inversabile este:

Fie mulțimea $\mathbbQ\left(\sqrt5\right)=\left\a+b\sqrt5\,\vert\,a,b\in\mathbbQ\right\\subset\mathbbR$ .

Structura algebrică $\left(\mathbbQ\left(\sqrt5\right),+,\cdot\right)$ este inel.
Asociază la fiecare element $x\in\mathbbQ\left(\sqrt5\right)$ precizat mai jos, elementul invers $x^-1$ corespunzător.

Fie mulțimea $\mathbbQ\left(\sqrt5\right)=\left\a+b\sqrt5\,\vert\,a,b\in\mathbbQ\right\\subset\mathbbR$ .

Structura algebrică $\left(\mathbbQ\left(\sqrt5\right),+,\cdot\right)$ este inel.
Pentru fiecare element $x=a+b\sqrt5\in\mathbbQ\left(\sqrt5\right)$ , elementul invers este $x^-1=\fracaa^2-5b^2-\fracba^2-5b^2\sqrt5\in\mathbbQ\left(\sqrt5\right)$ .

Fie mulțimea $\mathbbQ\left(\sqrt5\right)=\left\a+b\sqrt5\,\vert\,a,b\in\mathbbQ\right\\subset\mathbbR$ .

Structura algebrică $\left(\mathbbQ\left(\sqrt5\right),+,\cdot\right)$ este inel.
Pentru fiecare număr $a\in\mathbbQ^*$ , opusul inversului elementului $x=a-a\sqrt5\in\mathbbQ\left(\sqrt5\right)$ este:

Fie $\varepsilon=-\frac12+i\frac\sqrt32\in\mathbbC$ . Numărul complex $\varepsilon$ este numit rădăcină de ordinul $3$ a unității, fiind una dintre soluțiile ecuației $z^3=1$ . Se știe că are loc egalitatea $\varepsilon^2+\varepsilon+1=0$ .

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[\varepsilon\right]=\left\a+b\varepsilon\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbC$ . Structura algebrică $(\mathbbZ\left[\varepsilon\right],+,\cdot)$ este inel comutativ.
Determină numerele $a0,b0\in\mathbbZ$ pentru care $a0+b0\varepsilon=\varepsilon\cdot(1-\varepsilon)$ în inelul $\mathbbZ\left[\varepsilon\right]$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Fie $\varepsilon=-\frac12+i\frac\sqrt32\in\mathbbC$ . Se știe că are loc egalitatea $\varepsilon^2+\varepsilon+1=0$ .

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[\varepsilon\right]=\left\a+b\varepsilon\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbC$ . Structura algebrică $(\mathbbZ\left[\varepsilon\right],+,\cdot)$ este inel comutativ.
Inversul elementului $z=1+\varepsilon$ în inelul $\mathbbZ\left[\varepsilon\right]$ este:

Fie mulțimea $\mathbbZ\left[i\right]=\left\a+bi\,\vert\,a,b\in\mathbbZ\right\\subset\mathbbC$ .

Structura algebrică $(\mathbbZ\left[i\right],+,\cdot)$ este inel comutativ.
Determină mulțimea elementelor inversabile $\mathrmU(\mathbbZ\left[i\right])$ .
Fie $n=$ numărul elementelor din $\mathrmU(\mathbbZ\left[i\right])$ și $p=$ produsul lor.
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Pe mulțimea $\mathbbZ$ se definesc legile de compoziție $x*y=x+y+10$ și $x\circ y=xy+10(x+y)+90$ .

Structura algebrică $\left(\mathbbZ,*,\circ\right)$ este inel comutativ. Legea $*$ reprezintă „adunarea” inelului, iar legea $\circ$ reprezintă „înmulțirea”.
Determină elementul zero al inelului (notat $\textbf0$ ) și elementul unitate al inelului (notat $\textbf1$ ). Notația $\textbf0$ nu reprezintă numărul $0\in\mathbbZ$ și analog, notația $\textbf1$ nu reprezintă numărul $1\in\mathbbZ$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Pe mulțimea $\mathbbZ$ se definesc legile de compoziție $x*y=x+y+10$ și $x\circ y=xy+10(x+y)+90$ .

Structura algebrică $\left(\mathbbZ,*,\circ\right)$ este inel comutativ. Legea $*$ reprezintă „adunarea” inelului, iar legea $\circ$ reprezintă „înmulțirea”.
Determină toate elementele inversabile ale inelului (adică elementele simetrizabile față de legea $\circ$ ).
Fie $p=$ produsul numerelor pe care le-ai determinat și $s=$ suma lor.
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Descrierea testului

Cu acest test de matematică pentru clasa a XII-a îți vei consolida cunoștințele despre inele, aplicând cunoștințele pe care le-ai întâlnit în lecțiile anterioare în cazul inelelor numerice. Vei întâlni întrebări care te vor pune în situația să determini elementul zero, elementul unitate sau mulțimea elementelor inversabile într-un inel numeric. Va trebui să calculezi opusul sau inversul unui element dat. Întrebările testului se vor referi la inelele numerice asemănătoare cu exemplul prezentat în lecția video pe care ai parcurs-o. Sper ca testul să-ți placă! Rezolvă-l cât mai bine și vei fi foarte bine pregătit la matematică! Vei avea note bune și succes la examene!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)