Test: Sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea. Exerciții

Test

Întrebările pe care le vei întâlni în test:

Un sistem de ecuații de forma $\left \ \beginarrayl y=mx+n\\ ax^2+bx+c=a'y^2+b'y+c' \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $mx+n$ se obține o ecuație de grad cel mult doi, cu o singură necunoscută.

Fie $S\subset \mathbbR\times\mathbbR$ mulțimea de soluții ale sistemului de ecuații $\left \ \beginarrayl y=mx+n\\ y=ax^2+bx+c \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ .

Dreapta de ecuație $y=mx+n$ este exterioară parabolei de ecuație $y=ax^2+bx+c$ dacă și numai dacă:

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=mx+n\\ y=ax^2+bx+c \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Notăm $\Delta =$ discriminantul ecuației de gradul al doilea obținută înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $mx+n$ .
Numărul de puncte de intersecție dintre dreapta de ecuație $y=mx+n$ și parabola de ecuație $y=ax^2+bx+c$ variază în mulțimea $\left \ 1,2,3 \right \$ în funcție de semnul discriminantului $\Delta$ .

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=mx+n\\ y=ax^2+bx+c \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Notăm $\Delta =$ discriminantul ecuației de gradul al doilea obținută înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $mx+n$ .
Presupunem că sistemul are cel puțin o soluție (pereche ordonată din produsul cartezian $\mathbbR\times\mathbbR$ ).
Pentru orice sistem care verifică aceste condiții, rezultă:

Dreapta de ecuație $y=mx+n$ este tangentă parabolei de ecuație $y=ax^2+bx+c$ dacă și numai dacă sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=mx+n\\ y=ax^2+bx+c \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ are o soluție unică $(x1,y1)$ , ale cărei componente sunt posibil diferite, posibil identice.

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-5x-1\\ y=x^2-3x \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $-5x-1$ se obține ecuația:

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-5x-1\\ y=x^2-3x \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Ecuația de gradul al doilea obținută înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $-5x-1$ are soluțiile:

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-5x-1\\ y=x^2-3x \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ are mulțimea de soluții:

În imagine este reprezentată parabola de ecuație $y=x^2-3x$ , două drepte tangente parabolei și două drepte secante parabolei.

Alege culoarea corespunzătoare dreptei care, intersectând parabola, realizează reprezentarea geometrică a sistemului de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-5x-1\\ y=x^2-3x \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ .

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-x-4\\ 2x^2-3x+1=3y^2+5y-6 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $-x-4$ se obține ecuația $-x^2 + p x + q = 0$ .
Determină numerele $p,q\in\mathbbR$ .
Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-x-4\\ 2x^2-3x+1=3y^2+5y-6 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ are mulțimea de soluții $S=\left \(x1,y1),(x2,y2)\right \$ .

Rezolvă sistemul și determină numărul $\alpha =x1+y1+x2+y2$ .
Alege răspunsul corespunzător.

Pentru fiecare număr $m\in \mathbbR$ considerăm sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=mx-7\\ y=2x^2+10x+11 \endarray \right.\; \; x,y\in \mathbbR$ . Acesta poate fi rezolvat folosind metoda substituției.

Înlocuind în a doua ecuație necunoscuta $y$ cu expresia $mx-7$ se obține ecuația:

Determină $s=$ suma valorilor parametrului $m\in \mathbbR$ pentru care dreapta de ecuație $y=mx-7$ este tangentă parabolei de ecuație $y=2x^2+10x+11$ .

Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Pentru fiecare număr $m\in \mathbbZ$ considerăm sistemul de ecuații $\left \ \beginarrayl y=-4x-m\\ y=-x^2-mx-19 \endarray \right.\quad x,y\in \mathbbR$ .

Determină $n=$ numărul de valori ale parametrului $m\in \mathbbZ$ pentru care sistemul are cel mult o soluție.
Răspunde cu un singur număr, folosind doar cifre.

Determină valorile parametrilor $m,n\in \mathbbR$ pentru care dreapta de ecuație $y=mx+n$ taie parabola de ecuație $y=(x-4)^2+6$ în punctele distincte $A$ și $B$ , astfel încât $yA=yB$ și $\Delta AVB$ este echilateral, ca în imagine.

Răspunde cu câte un singur număr pentru fiecare spațiu liber, folosind doar cifre și eventual semnul minus.

Descrierea testului

Rezolvă acest test de matematică pentru clasa a IX-a și vei verifica dacă știi să rezolvi sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea. Uneori ți se va cere să faci legătura dintre mulțimea de soluții ale sistemului de ecuații și poziția relativă a dreptei față de parabolă. Vei întâlni întrebări în care ți se va cere să rezolvi pas cu pas astfel de sisteme, urmând metoda prezentată în lecția video. Ți se va cere uneori să determini un parametru pentru care sistemul îndeplinește anumite condiții sau dreapta are o poziție impusă față de parabolă. La ultima întrebare, un strop de geometrie! Sper să-ți placă întrebările! Rezolvă testul și vei învăța matematică!

Pentru a comenta acest test, fii parte din eduboom!

Intră în contul tău! Înregistrează-te

Comentarii (0)